二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，卷积公式容易，积分区间难以确定，所以分成上中下三篇博客写。
一。问题的引入
有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布？
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二。公式
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特殊类型 ：Z=X+Y，怎样确定Z的分布？如何求Z的概率密度？
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当X与Y相互独立时， 就得到所谓的 卷积公式
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三。已知f(x,y)，如何计算Z=X+Y型的概率密度 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上） 及概率分布 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）？
根据理解或者根据上面的公式，我们知道 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上） 是将f(x,y)求一次积分， 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上） 是求二次积分，难点问题在于 如何确定积分区间？需要分成几个区间 ?
对于Z=X+Y型的关系，假设对x求一次积分，得到 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
表示成
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那么我们要画出一个 x--z的坐标，确定积分区间
1）积分区间的左右两边，由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间, 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
那么积分的左右边界就是a到b
2）根据关系式
z=x+y， 由于坐标系是x--z的关系，那么y就是变常量
z的最小值：二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
z的最大值：二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
积分的上下边界就是 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上） 到 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分：
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所以按照x积分，积分区间就要分成三段：红色区间，蓝色区间，绿色区间
1) 红色区间 ，
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x积分区间= a 到 Z-Ymin
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2) 蓝色区间
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x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin
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3) 绿色区间
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x积分区间= Z-Ymax 到 1
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当x的a,b左右对称时，中间蓝色区间没有，只有两个积分区间：
红色区间 和 绿色区间
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【例一】设(X,Y)的联合密度函数为
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(1)问X,Y是否独立？
(2)求Z=2X+Y的密度函数 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）和分布函数 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
(3)求P{Z>3}
【解】
(1) 问X,Y是否独立？
X,Y独立的条件
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所以
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(2)求Z=2X+Y的密度函数 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）和分布函数 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
(2.1)先求密度函数 二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
Z=g(X,Y)=2X+Y
求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）
可以利用卷积公式
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画一个 x-z 的坐标系
Z方向下限：
二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上） = 2X+0
Z方向上限：
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图：
公式：
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参考书目：0daybank
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